L'ANALISI AGLI ELEMENTI FINITI

Lo Studio Terrain implementa da anni modellazioni rigorose agli Elementi Finiti monodimensionali e bidimensionali.

Il Metodo agli Elementi Finiti (F.E.M.) è una tecnica avanzata di risoluzione di equazioni differenziali parziali che consiste nel discretizzare queste equazioni nelle loro dimensioni spaziali.

La nascita del metodo data agli anni ’50 dello scorso secolo, ricavando un sostanziale incremento in parallelo allo sviluppo degli elaboratori elettronici.

Trattandosi di una tecnica algoritmica applicabile a qualsiasi medium che si possa modellare in maniera continua, i campi in cui sono state sviluppate soluzioni FEM sono vari.

Attualmente molti Enti e Associazioni internazionali lavorano incessantemente e dedicano ogni sforzo per diffondere il metodo, che si pone come strumento unico per la soluzione di una svariato spettro di problemi. Si contano applicazioni agli Elementi Finiti in Ingegneria Civile per ogni tipo di calcolo strutturale, in Geotecnica per definizioni di campi tensionali e verifiche di stabilità, in Idraulica per la risoluzione dei moti di filtrazione, in Elettrotecnica e in Meccanica per una serie di svariate applicazioni relative ai transitori, in Ingegneria Aerospaziale per lo studio dei profili alari, nella Fisica Tecnica per lo studio della propagazione del calore, ed in altri campi ancora.

Un esempio di applicazione in Geotecnica è il programma FEA Slope 2.0, corredato di ampio Manuale Teorico.

La discretizzazione viene effettuata localmente su piccole regioni di forma arbitraria (Elementi Finiti) dotati di caratteristiche significative pari a quelle dell’insieme nel quale si esegue l’integrazione.

Il metodo prevede l’assemblaggio di una matrice algebrica globale in cui convergono le caratteristiche del medium e le azioni esterne, con le relative variazioni.

Ogni grandezza di calcolo viene riferita a un numero codificato di nodi, per i quali viene fornito un input coerente e in corrispondenza dei quali si ricavano gli outputs significativi.

Gli Elementi Finiti, nel medium continuo, sono interconnessi tra loro nei nodi del sistema. Dal punto di vista meccanico computazionale, ciascun elemento viene descritto mediante una propria matrice delle rigidezze. Tramite queste rigidezze, in corrispondenza di ciascun nodo del sistema è possibile scrivere una o più equazioni che governano il problema in termini di equilibrio delle forze o di congruenza degli spostamenti globali. Risolvere il sistema di equazioni generato dalla sovrapposizione di tutti i nodi equivale a definire il comportamento dei sottospazi rappresentati dagli Elementi.

In altri termini, la matrice algebrica globale riflette la sovrapposizione delle azioni e degli effetti delle azioni nelle aree discrete considerate “concentrate” ai nodi.

La soluzione del sistema numerico associato alla matrice permette di definire il campo di variazione delle incognite dell’intero spazio considerato, sia per i punti nodali sia che per tutti quelli interni ai singoli elementi.

Infatti i singoli Elementi Finiti sono codificati in modo univoco una volta calcolate le grandezze di interesse ai singoli nodi.

Ricavate dal sistema globale le grandezze ai nodi, si ritorna allo sviluppo dei risultati all’interno dei singoli campi costituiti dagli elementi.

Le relazioni che legano le condizioni ai nodi con quanto accade all’interno delle aree discrete sono le Funzioni di Forma.

Una caratteristica avanzata delle soluzioni agli Elementi Finiti è di permettere soluzioni “accopppiate” o “disaccoppiate”, secondo le condizioni di verifica.

Può infatti presentarsi la necessità di studiare contemporaneamente più problemi tra loro distinti ma interconnessi, e risolvibili ciascuno singolarmente tramite un algoritmo FEM.

Tipico in Geotecnica il problema dell’idrologia di un pendio da valutare insieme alla sua stabilità, oppure il fenomeno di diffusione di una massa gassosa in pressione all’interno di un contenitore rigido al variare della temperatura.

In entrambi i casi un campo evolutivo (l’idologia per il primo problema, la temperatura all’interno del contenitore per il secondo) può non essere fissato a priori, ma può dipendere per esempio dal tempo, con notevole influenza sul risultato finale (stabilità, pressioni).

Nel caso del pendio, l’analisi FEM dell’idrologia è condizionata dalle caratteristiche di permeabilità di massa, oltre naturalmente alle condizioni della falda e al contorno.

Se la permeabilità è una costante, le condizioni al contorno si modificano spesso a causa di fattori indipendenti da ogni altra circostanza. Un esempio tipico di questo approccio è la valutazione di stabilità di una diga in terra durante le condizioni di invaso - o di svaso - del serbatoio a monte. Le condizioni di idrologia sono dettate dalla programmazione lavori da parte dell’autorità del bacino, indipendente per definizione da ogni fattore relativo all’analisi del pendio.

D’altra parte, le condizioni di stabilità mutano in base alle variazioni delle condizioni idrologiche che determinano il regime delle pressioni neutre, in quanto la resistenza dei materiali varia per terreni saturi e insaturi.

Si sviluppa così un’interdipendenza di problemi diversi può trovare definizione nell’analisi “accoppiata” di idrologia e stabilità.

In pochi determinati casi, infine, è possibile scrivere delle leggi costitutive dei materiali terrosi tenendo conto delle condizioni di saturazione, permettendo calcolazioni aggiornate al reale grado di umidità dei suoli in sito.

Si tratta comunque di applicazioni ancora sperimentali, la cui affidabilità computazionale è allo stato attuale in fase di verifica.

In conclusione, è da sottolineare che il metodo agli Elementi Finiti è in grado di risolvere anche alcuni problemi specifici “derivando” per estensione soluzioni applicabili a rigore a situazioni differenti. Alcuni algoritmi di calcolo con caratteristiche di scalarità e modularità hanno acquisito una certa notorietà proprio per la versatilità di impiego in campi differenziati. Purtroppo non tutte le soluzioni sono altrettanto scalabili e modulari, in particolare quando sono in gioco le problematiche geotecniche. Caratteristica dei terreni è infatti quella di mostrare comportamenti plastici già a partire da bassi livelli di deformazione, fattore che richiede l'impiego di soluzioni molto specifiche.

In altri casi, infine, il metodo FEM può perdere l’”esattezza” della soluzione che gli è propria. Un esempio molto noto è la trattazione del sistema di equazioni differenziali “disaccoppiate” nella risoluzione del problema dell’analisi sismica modale, metodo che riguarda la risoluzione delle strutture portanti.

In generale, particolare attenzione viene posta nel conservare le caratteristiche di flessibilità senza infrangere le chiare basi teoriche del metodo. Un importante esempio, rilevante nel caso della valutazione della stabilità del pendio, è la risoluzione di problemi in cui interviene l’elastoplasticità (o viscoplasticità), sempre presente nell’analisi del comportamento dei materiali terrosi.